[R]2項分布-超幾何分布-Poisson分布-正規分布の関係

キーポイント確率統計 (理工系数学のキーポイント)」という本 で説明されている 2項分布-超幾何分布-Poisson分布-正規分布の関係を R で視覚化。P.41にこれら4つの相互関係が図式化されている。実際に手を動かしたほうが理解も深まるしね、、、

2項分布と超幾何分布
「ポイント3:2項分布は「確率論」の始め」 P.40 図3.8/3.9 より。
\rho = \frac{N1}{N1+N0} を一定にしたまま N_1, N_2 \to \infty の極限をとると超幾何分布は2項分布 B(n, p) になる。

近似前

近似後

2項分布とPoisson分布
「ポイント4:まれな現象はポアソン分布」 P.52 図4.3 より
\lambda = np を保ったまま n \to \infty, p \to \infty とすればよい。

2項分布と正規分布
「ポイント5:正規分布はなぜ重要か」 P.72 図5.9 より
B(n, p) \underset{n = large enough, p \thicksim \frac{1}{2}}{\thicksim} N(np, np(1-p))
が成り立ち、対応する正規分布の平均・分散は2項分布の平均 \mu = np , 分散 \sigma ^ 2 = np(1-p)に一致する。


グラフ生成用コード

2項分布と超幾何分布

# P.40 - Graph 3.8
png(file="binomialxhyper-geometric1.png")
par(mfcol=c(1, 2))
plot(0:4, dhyper(0:4, 4, 6, 4), type="h", main="HG(4, 6, 4)")
plot(0:4, dbinom(0:4, 4, 0.4),  type="h", main="B(4, 2/5)")
dev.off()

# P.40 - Graph 3.9
png(file="binomialxhyper-geometric2.png")
par(mfcol=c(1, 2))
plot(0:10, dhyper(0:10, 40, 60, 10), type="h", main="HG(40, 60, 10)")
plot(0:10, dbinom(0:10, 10, 0.4),    type="h", main="B(10, 2/5)")
dev.off()

2項分布とPoisson分布

png(file="binomialxpoisson.png")
par(mfrow=c(2, 2))
plot(dbinom(1:100, 20, 0.5),    xlim=c(0, 30), main="B(20, 0.5)")
plot(dbinom(1:100, 100, 0.1),   xlim=c(0, 30), main="B(100, 0.1)")
plot(dbinom(1:100, 1000, 0.01), xlim=c(0, 30), main="B(1000, 0.01)")
plot(dpois(1:100, 10), xlim=c(0, 30), main="P(10)")
dev.off()

2項分布と正規分布

png(file="binomialxnormal.png")
plot(dbinom(1:100, 100, 0.5), xlim=c(30, 70))
curve(dnorm(x, mean=50, sd=5), add=TRUE)
dev.off()
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Posted in algorithm, R

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